Spada vs Bastone: facciamoci i conti!

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Questa settimana, sempre immerso nella preparazione del concorso, ho deciso di affiancarmi all’amico Simone Normani del mitico blog Grappa e Spada.
Per il Vecchio Carnevale Blogghereccio di questo mese, Simone ha tirato fuori questo articolo in cui confronta bastoni e spade (quelli veri, non quelli delle carte napoletane!) per mostrare quanto i primi non siano affatto così innocui rispetto alle seconde come si potrebbe pensare.
Se nel suo articolo potrete trovare le implicazioni della sua dissertazione, qui troverete… i conti!

Andiamo dunque ad affrontare le caratteristiche della spada e del bastone e vediamo come sono fatti fisicamente.

Legno e Acciaio

Tanto per cominciare, per il bastone abbiamo considerato un’asta di legno dritta, mentre per la spada abbiamo messo assieme vari solidi immaginando che, a parte l’Elsa (che è di legno), fossero tutti fatti di Acciaio, del quale ha già parlato il buon Simone in questo articolo.

Chiaramente, un’asta di legno e la stessa asta d’acciaio hanno un peso differente: la grandezza che interessa a noi per distinguerli è la densità, ovvero quanto pesa una certa quantità di materiale o, detto in termini più corretti, quanta massa è contenuta in un determinato volume di materiale.

Per i nostri calcoli, dovendo prendere un generico legno e un generico acciaio, abbiamo preso come riferimento che un cubetto di 1 cm di lato di Acciaio pesasse 8 grammi, mentre uno di legno 0,7: le nostre densità sono dunque rispettivamente 8g/cm^3 e 0,7 g/cm^3.

Dimensioni a confronto

Per correttezza, abbiamo deciso di usare due armi della stessa lunghezza totale: 130 centimetri per una spada a due mani e un’asta della stessa misura.

Se, per il bastone, questa struttura è facilmente schematizzabile in un’unica asta, la spada è stata divisa in una lama lunga un metro a forma di piramide, un parallelepipedo per la guardia (il “braccio” orizzotale della croce) di 30 cm e uno per il codolo (la parte finale della lama che si infila nell’elsa) di 26 cm, un cilindro altrettanto lungo per l’elsa (l’impugnatura), e una sfera di 2 cm di raggio per il pomello (la parte terminale dell’arma).

Avendo a disposizione le strutture tridimensionali che formano queste due armi, è possibile calcolarne i volumi e, tramite le densità già indicate, le masse.

Partiamo dalle aste: un’asta è un cilindro, la cui base circolare si calcola facilmente moltiplicando il raggio al quadrato per pi greco.
Per il bastone, a cui abbiamo assegnato un diametro di 3,5 cm, si parla di circa 9,6 cm^2 di sezione che, moltiplicati per i 130cm di lunghezza, ci danno un volume totale di 1250cm^3.
Se andiamo poi a moltiplicare questo per gli 0,7g/cm^3 della densità otteniamo una massa di 0,88 kg per il bastone.

Lo stesso ragionamento può essere applicato anche per l’elsa che, però, è cava a causa del codolo che l’attraversa da parte a parte (e dunque ne sottrarremo il volume): pesa circa 40 grammi.

FORMULE DI GEOMETRIA SOLIDA | A vele spiegate
Sempre utili

Passiamo ora ai parallelepipedi: guardia e codolo.
Anche stavolta dovremo moltiplicare la lunghezza per la superficie della base, che però stavolta è un rettangolo: una guardia ha una base di circa 0,5×1 cm mentre il codolo 1,4×0,6 cm.
Dopo aver moltiplicato i risultati per le relative lunghezze, ci ricordiamo che stavolta abbiamo oggetti di acciaio, e dunque con una densità molto maggiore, andando a pesare rispettivamente 120 e 170g circa.

Il pomoo è invece una sfera, la cui superficie si può ricavare elevando il raggio al cubo e moltplicando per 4/3 pi greco: il nostro pomolo, una palla di acciaio di 2 cm di raggio, ci da circa 67g.

Per finire avremo la nostra lama: anche se è una semplificazione estremamente grezza (e lo vedremo a breve), la nostra piramide ha una base di 4×1 cm ed è lunga un metro, per una massa totale di 1066g di puro acciaio, un risultato compatibilie con le vere lame di spada lunga.
Il totale si attesta dunque tra 1,4 e 1,5 kg, coerente con spade di questo tipo.

Baricentro e leve

Il centro di massa di un sistema è il luogo dove, idealmente, si concentra tutta la massa del sistema: noto anche con il nome di Baricentro, è il punto di equilibrio di un sistema, quello attorno al quale ruota quando l’oggetto è privo di altri vincoli.

Questo punto è molto importante perché, essendo il luogo dove è virtualmente concentrata tutta la massa, la sua posizione rispetto alle mani dell’utilizzatore dell’arma ci dirà quanto un’arma è o meno rapida e maneggevole.

Esercizio svolto sulla leva di primo genere – lafisika.it

Se infatti proviamo a schematizzare l’utilizzo di un’arma a due mani, possiamo ridurlo sostanzialmente a una leva: una leva è una struttura meccanica (detta “macchina semplice”) che sfrutta un punto fisso, detto fulcro, per mettere due forze in antagonismo, fornendo loro un vantaggio o svantaggio dato dalla distanza tra il fulcro e il punto di applicazione della forza.

Nello specifico, più la forza sarà applicata distante dal fulcro e maggiore sarà la sua efficacia: questo fenomeno è lo stesso che ci permette, ad esempio, di svitare meglio un bullone usando una chiave inglese più lunga.

Il prodotto tra distanza e forza è detto braccio della forza: per un’arma a due mani, possiamo usare la mano davanti come fulcro, quella di dietro come il punto dove agisce la forza “motrice” e il centro di massa dell’arma quello dove agisce la forza “resistente” (cioè il peso dell’arma).

E’ evidente dunque che un’impugnatura più lunga e un centro di massa più vicino alle mani faciliteranno l’uso da parte dell’utente, rendendo l’arma più maneggevole, mentre un centro di massa più lontano renderà l’arma più “goffa”.

Calcolare il baricentro del bastone è facilissimo: essendo l’asta un cilindro omogeneo, si trova esattamente nel suo centro. Questo, ad esempio, rende il bastone estremamente agile se impugnato attorno al suo centro, usandolo come “un’arma doppia”.

Ben più impegnativo è invece il calcolo del baricentro della spada: essendo infatti composta da più pezzi di forma e massa differente, il calcolo (complesso e che non vedremo qui) richiede di calcolare il baricentro di ciascun corpo e trovare il baricentro del sistema intero tramite media geometrica delle sue parti.
Inoltre, per questo calcolo, abbiamo usato un modello più complesso della spada, nel quale la lama è composta da due parti (un tronco di piramide a base esagonale sormontato da una piramide) che ci serve per il punto successivo.

Il risultato è che il baricentro della spada si trova pochi centimetri davanti alla guardia.
Il motivo di questa posizione è che la piramide ha un baricentro relativamente vicino alla base e che la presenza di guardia, codolo e pomello d’acciaio spostano fortemente indietro il baricentro, a una distanza circa 6 volte inferiore a quello del bastone.

Da questo risultato emerge che, impugnando il bastone come una spada, la forza necessaria per smuoverlo è circa tre volte tanto quella necessaria per una spada, nonostante la sua massa sia praticamente la metà.

Momento di Inerzia

Per avere però una visione più chiara di come funziona la rotazione di un corpo, dobbiamo utilizzare un concetto più complesso ma che ci fornisce dei risultati più corretti: il momento di inerzia, un valore che, al pari del centro di massa, dipende dalla distribuzione di massa in un corpo.
Il momento di inerzia, infatti, lega velocità e accelerazioni angolari con i relativi momenti e delle forze con un ruolo simile alla massa nel rapporto tra forze e accelerazioni.

All’atto pratico, il momento di inerzia ci dirà quanta forza serve per roteare un’arma, ma anche con quanta forza essa impatta sul nemico.

Anche stavolta, il momento di inerzia per il bastone è piuttosto semplice: per un cilindro che ruota attorno al suo centro esso è pari a 1/12 della massa per la lunghezza al quadrato.
Tuttavia, il bastone impugnato come una spada non ruota attorno al suo centro e dobbiamo dunque spostare il centro di rotazione: ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che questo nuovo momento di inerzia è pari all’originale + la massa per la distanza al quadrato tra i due centri di rotazione.

Il calcolo fornisce alla fine un momento di inerzia di 230.554 g per m^2.
Questo numero, apparentemente inutile, ci servirà per confrontarlo con quello della spada.

La Spada ha, anche stavolta, calcoli molto più complessi: per effettuarli, ci siamo affidati a un software di simulazione matematica e abbiamo associato, a ogni cm di lunghezza della spada, una certa quantità di massa come mostrato da questo grafico.

Anche stavolta conta la distanza tra i singoli elementi della spada e il suo centro di massa: come si può vedere dal grafico, guardia e pomello portano con se molta massa concentrata sulla lunghezza della spada, ma mentre la guardia è molto vicina al centro di massa, il pomello, in fondo alla guardia, bilancia il peso della lama.

Il conto, che anche qui ha una complessità superiore allo scopo di questo articolo, fornisce un risultato di 146.558 g per m^2, dunque circa 2/3 di quello del bastone.

Le conseguenze sono interessanti: il bastone, ben più agile se impugnato al centro, ha però un momento di inerzia che è circa una volta e mezzo quello della spada se impugnato alla stessa maniera, risultando meno agile, ma anche dall’impatto più violento.
Si dimostra essere dunque un’arma flessibile, dall’evidente potenziale difensivo, ma anche migliore di una spada se usato contro le armature.

Potete leggere l’altra metà dello studio a questo indirizzo

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