Elfi, Umani e dinamiche di popolazione

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Ci siamo spesso interessati, in queste pagine, di caratteristiche delle specie fantasy: abbiamo parlato di come potrebbero essere giustificate le caratteristiche biologiche di Elfi e Nani in questo articolo e degli orchi in questo altro.

Oggi vogliamo invece chiederci: con che velocità possono crescere le popolazioni di queste diverse creature, Umani, Elfi, Nani e Mezzuomini, e in quale percentuale potremmo trovarli in una società mista?
Andiamo a scoprirlo assieme, con il “potere” delle simulazioni matematiche!

Equazioni spaventose

Spesso, quando le persone che non “masticano” di matematica incontrano delle formule che spiegano dei fenomeni, vengono colpito da un panico sovrannaturale: oggi voglio portarvi per mano nella scoperta dei ragionamenti aritmetici dietro questo articolo.

O meglio, a me piacerebbe farvelo vedere, e penso che sia una maniera divertente per capire in che modo la matematica possa “produrre risultati utili”.
Se invece proprio non ve la sentiste, vi invito ad andare all’ultima parte dell’articolo (“Vai con il Fantasy!”) e godervi almeno i risultati di questa fatica: sia mai che dopo, in preda a una folgorazione, non abbiate voglia di leggervi anche la parte di matematica!

Cominciamo con un esempio esterno a questo argomento e noto ai più.
I soldi!

Facciamo finta di avere un certo gruzzolo da parte, che chiameremo “Soldi a gennaio”.
Come facciamo a sapere quanti soldi si avranno alla fine di febbraio?
Ai soldi di gennaio, dovremo:
-sommare le entrate di febbraio;
-sottrarre le uscite di febbraio.

In breve:

Soldi Febbraio = Soldi Gennaio + Entrate – Uscite

Converrete con me che è del tutto identico parlare di soldi o di persone: in questo caso, ignorando eventuali fattori di migrazione, le entrate saranno nascite e le uscite le morti.
In generale, data una popolazione (Pop.) in uno specifico periodo di tempo:

Pop. Finale = Pop. Iniziale + Nascite – Morti

Per trasformare queste formule in “veri conti”, dobbiamo capire come calcolare queste nascite e queste morti…

Cicli naturali

Per affrontare un argomento complesso come le dinamiche di popolazione (che toccheremo comunque in maniera ampiamente semplificata e superficiale) partiremo da delle situazioni più semplici possibili e andremo, via via, a complicare il nostro modello.

Immaginiamo per prima cosa che ogni popolazione cresca o si riduca in base a soli due fattori: il numero di nascite e le morti naturali.

Uno degli indici per analizzare la crescita della popolazione è il Total Fertility Rate: (TFR) esso indica quanti figli fa, mediamente, una donna nella sua vita.
Si tratta ovviamente di un fattore medio: il TFR non tiene conto dei singoli individui, ma del totale della popolazione. Esso ad esempio non terrà conto di casi particolarmente rari, come una madre che abbia moltissimi bambini, e verrà inevitabilmente abbassato da tutte quelle donne che non hanno figli. Si tratta dunque di un fattore astratto, ma utile per dare una misura della velocità con cui aumenta la popolazione.

Noto tale parametro, la quantità di nascite in una popolazione sarà pari al TFR per il numero di donne, che si immagina essere la metà della popolazione stessa. Se poi volessimo andare a calcolare quanti figli nascono in uno specifico arco di tempo, ci servirà di moltiplicare il risultato per questo ammontare di anni ma, visto che il TFR è relativo all’intera durata della vita di una donna, bisognerà anche dividere il totale per l’aspettativa di vita che chiameremo “longevità” (ad esempio, con un TFR di 4, una donna che viva 100 anni farà mediamente, in un arco di 50 anni, 2 figli).

Facciamo subito un esempio.
Immaginiamo di avere una popolazione di 1000 persone con un TFR di 3.
Le donne sono circa 500 e da esse nasceranno mediamente un totale di 1500 bambini. Ma quanti di questi nasceranno, ad esempio, in 10 anni?
Immaginando che una persona campi 100 anni (ottimista, ma vedremo che riuseremo questo dato a breve), significa ad esempio che in un periodo di 10 anni nascerà un decimo di questi figli.
Mettendo questi valori su carta, otteniamo:

500 donne x 3 figli x 10 anni / 100 anni = 150 figli

Ovviamente qualunque matematico si sarà appena infilato una penna nell’occhio su questo uso ” vandalico” della matematica, per cui riportiamo il tutto in una formula elegante, dove “1/2” viene dal fatto che circa metà della popolazione è femminile.

Nascite = 1/2 Pop. iniziale x TFR x Tempo / Longevità

La stessa longevità viene usata anche per calcolare il numero di morti naturali. Immaginiamo dunque che la popolazione sia distribuita in maniera abbastanza omogenea tra le varie fasce d’età (che è un’astrazione, perché non tiene conto del tasso di crescita e delle morti “artificiali”, ma che prenderemo per buona).
Quindi, su 1000 persone, in media dieci di esse hanno 100 anni e, se la longevità è proprio 100 anni, tireranno le cuoia in un anno. Questo ovviamente accade ogni anno, per cui, banalmente, il numero di morti naturali ogni anno sarà pari alla quantità di popolazione diviso la longevità. Per considerare un arco di più anni, sarà sufficiente moltiplicare questo risultato per tale numero di anni.
In formule:

Morti = Pop. iniziale x Tempo / Longevità

Crescita lineare (sbagliata!)

Mettiamo assieme tutti questi dati e riprendiamo le formule appena definite, trasformando tutto in singole lettere:

Pop. finale (PF) = Pop. iniziale (PI) + Nascite (N) – Morti (M)

Nascite (N) = 1/2 Pop. iniz (PI) x TFR x Tempo (T) / Longevità (L)

Morti (M) = Pop. iniz (PI) x Tempo (T) / Longevità (L)

Sostituendo, nella prima equazione, le rispettive formule per Nascite e Morti otteniamo:

PF = PI + 1/2 PI x TFR x T / L – PI x T / L

Oltre ad aver immediatamente risposto alla domanda “cosa diavolo ho studiato a fare tutta questa roba a scuola”, questa formula può stimolare tutte le vostre doti di semplificazione tramite raccolta di fattori con la proprietà distributiva del prodotto, quella che dice che 5 x (2+3)= 5×2 + 5×3 o anche che 5×2 + 5×3 = 5 x (2+3).
Raccogliamo dunque tutti i termini con “T”

PF = PI + (1/2 PI x TFR /L – PI/L ) x T

o ancora, raccogliendo PI e L.

PF = PI + PI x (1/2 TFR -1)/L x T

A questo punto, supponendo che la Longevità e il TFR siano propri di una popolazione, fissata la quantità di persone iniziale sarà possibile ottenere la popolazione totale dato il tempo.
Ad esempio, con una popolazione di 100.000 persone, un TFR di 4 e una longevità di 100 anni, otteniamo:

PF = 100.000 + 100.000 x (1/2 x 4 – 1) / 100 x T

Ovvero:

PF = 100.000 + 100.000 x 1/100 T

Questa è la classica equazione di una retta:

Considerando che il tempo è in anni, questa formula ci dirà che la nostra popolazione raddoppierà dopo 100 anni, triplicherà dopo 200 anni e così via. Infatti, ponendo il tempo pari a 200 anni, otterremo:

PF = 100.000 + 100.000 x 1/100 x 200 = 300.000

Peccato che questo uso della formula sia errato.

Crescita esponenziale (giusta!)

Invece che considerare i 200 anni tutti assieme, proviamo a “spezzare” il nostro calcolo in due periodi di un secolo l’uno. Se il la nostra formula è stata usata correttamente, dovremmo ottenere lo stesso risultato.
Consideriamo quindi il primo periodo di 100 anni riprendendo l’ultima formula:

PF = 100.000 + 100.000 x 1/100 x 100 = 200.000

Ora andiamo ad applicare la stessa formula per il secolo successivo, per abbracciare dunque dunque un tempo totale di 200 anni come prima. Stavolta però, nel secondo secolo, partiremo da una popolazione iniziale di 200.000 persone, quella ottenuta dalla prima metà del calcolo.

PF = 200.000 + 200.000 x 1/100 x 100 = 400.000

Da dove sono balzate fuori queste 100.000 persone in più?
Esse derivano dal fatto che, nell’applicazione della formula nel capitoletto precedente, non abbiamo mai “aggiornato” la popolazione iniziale.
Infatti, ci siamo sempre illusi che la popolazione finale e quella iniziale siano due cose differenti, mentre sono semplicemente la stessa cosa in due momenti differenti.

Un’equazione che correla un valore (come la popolazione) alla sua stessa quantità, in un attimo differente (o, per i più raffinati di voi, in maniera dipendente da un ulteriore parametro) è detta “Equazione Differenziale” e possiamo risolverla con metodi che usano gli integrali e, visto che è praticamente la lingua nera di Mordor, non “pronunceremo qui” come si risolvono.

Quello che invece possiamo fare con più semplicità è una simulazione con un foglio di calcolo, in modo da visualizzare anno per anno (o, nel nostro caso, decade per decade) la quantità di popolazione in funzione, ogni volta, del valore raggiunto nell’arco di tempo precedente.
Le curve che otteniamo somigliano a questa, dove sull’asse orizzontale è riportato il tempo e su quello verticale il numero di individui.

Se state leggendo questo articolo nel 2021, probabilmente avete già visto questi grafici da un anno a questa parte: si tratta delle classiche crescite esponenziali mostrate anche dal numero di contagi del Covid.
In una crescita esponenziale, sostanzialmente, non solo una determinata quantità continua a crescere nel tempo, ma lo fa a un ritmo sempre maggiore, superando un comportamento rettilineo per acquisire la tipica “curva verso l’alto”.

Supponendo che ci sia cibo per tutti, una popolazione con una simile tendenza di crescita può raggiungere dimensioni pressoché infinite.
Ma noi sappiamo bene che non è così semplice…

Avversità

Le popolazioni infatti non crescono all’infinito: numerosi sono i motivi che possono portare infatti alla riduzione della popolazione.
Tra questi i più evidenti sono la carenza di risorse e le morti “artificiali”, quelle cioè non derivanti dalla vecchiaia ma da malattie e violenza.

Per la nostra simulazione, ho deciso di riunire tutti questi elementi in un unico concetto chiamato “Avversità”. Questa avversità, per il nostro modello, dipenderà da un fattore costante (che indica sostanzialmente “quanto sia dura la vita”), moltiplicato per il numero di possibili interazioni tra i membri di quella popolazione.

Questa decisione viene dall’idea che due fattori fondamentali nel ridurre la popolazione, cioè il passaggio di malattie e l’eliminazione violenta, derivino in parte fondamentale dall’interazione tra due membri della popolazione. Si tratta, anche stavolta, di un modello semplificato, ma efficace nel suo limitare la crescita e simulare, come vedremo in seguito, le interazioni tra popolazioni diverse.

Ma quante sono le possibili interazioni tra le persone di una popolazione?
Ogni persona può, virtualmente, interagire con tutte le altre persone (questo ovviamente non tiene conto dell’estensione territoriale nel quale è distribuita la popolazione): per ciascuno dunque ci saranno tante possibili altre persone con cui interagire quanta la popolazione totale meno se stesso (ovvero, Popolazione – 1).
Se questo vale per ciascuna persona, dovremo dunque moltiplicare il risultato precedente per tutti gli individui, dunque Popolazione x (Popolazione – 1).
Tuttavia bisogna stare attenti, perché così facendo contiamo due volte l’interazione fra tutte le coppie di persone: data infatti una coppia di persone A e B, stiamo così contando l’interazione di A con B e quella di B con A come se fossero diverse, cosa che non è vera.
Dovremo perciò dividere per due il valore trovato, ottenendo così la formula:

Interazioni = Popolazione x (Popolazione -1) / 2

Questo tipo di equazione si incontra spesso per calcolare la complessità di un sistema e trova molto spazio nella teoria matematica dietro ai giochi, nei grafi euleriani e in altre applicazioni.

Ma che effetto ha questa avversità?
Questo contributo, crescendo quasi come la popolazione al quadrato, si fa più consistente man mano che la popolazione aumenta, fino a frenare e limitare il suo sviluppo a un determinato valore massimo. Aggiungendo questa interazione al grafico precedente, è evidente che, a un certo punto, la crescita della popolazione si ferma e il suo totale non aumenta ulteriormente.

Abbiamo adesso tutti gli elementi matematici che ci servono per andare ad affrontare il nostro studio di dinamica di popolazione.

Vai con il Fantasy!

Per questo studio, ho deciso di prendere in considerazione le quattro classiche specie del fantasy tolkeniano, riproposte poi in tutte le edizioni di Dungeons & Dragons: Umani, Elfi, Nani e Mezzuomini (Halfling o Hobbit che siano).

Per questo studio ho fatto le seguenti assunzioni:
-ho preso le longevità proposte nel manuale del giocatore della quinta edizione di D&D, ovvero 100 anni per gli uomini, 150 per i mezzuomini, 300 per i nani, 750 per gli elfi.
-ho mantenuto lo stesso TFR per tutte e quattro le specie, immaginando che tutti avessero all’incirca lo stesso numero di figli nel loro arco vitale (semplicemente, le creature meno longeve avranno più figli nello stesso arco di tempo).

Andiamo innanzi tutto a vedere come cresce, nel tempo, ciascuna delle singole popolazioni, immaginando che le interazioni tra popolazioni differenti siano nulle (e che dunque ognuna risenta del solo fattore di avversità dovuto ai membri della propria specie).

Come si nota dal grafico, le popolazioni tendono a stabilizzarsi quando il livello di avversità bilancia le nascite. In questa configurazione, vediamo che la popolazione totale è formata, all’incirca, da un 51% di umani, 30% di mezz’uomini, 13% di Nani e il restante 5% da Elfi.
Si tratta di una distribuzione che può rispecchiare bene la demografia di molte ambientazioni fantasy.

Ma che succede se iniziamo a considerare l’interazione tra le varie popolazioni?
Considerando anche solo un’interazione limitata con membri di altri specie (il 10%), vediamo come le popolazioni più numerose “schiaccino” nel numero quelle più piccole, costringendole a una rapida “estinzione”. E’ forse questo il destino degli elfi della Terra di Mezzo, costretti a fuggire da un mondo violento ormai in balia degli umani?

Commistioni di sangue

Come ultima aggiunta, ho pensato di inserire la possibilità che umani ed elfi potessero avere prole: i Mezzelfi hanno una certa probabilità (una su 10.000) di nascere dall’interazione tra due membri delle rispettive razze in grado di procreare assieme.

Il primo dei due seguenti grafici mostra l’andamento della popolazione degli elfi (in un sistema a popolazione mista a bassa interazione) senza la possibilità di generare mezzelfi, mentre il secondo prevede questa opzione.
Come si può notare, i mezzelfi crescono al salire della probabilità di interazione tra elfi e umani e hanno un contributo non trascurabile nel portare i propri genitori elfici al declino demografico.

Il modello definitivo?

Questo modello è chiaramente assai semplificato, non tenendo conto di numerosi elementi tra cui (in maniera non esaustiva): la presenza di creature differenti, la quantità di risorse disponibile sul territorio, la densità della popolazione e la distribuzione di età all’interno delle singole popolazioni.
Oltre ad essere, però, un modo divertente per spiegare come si affronta un simile problema matematico, riesce a mettere in luce una distribuzione demografica abbastanza coerente con quelli che sono i canoni dei fantasy più come, distribuzione che va a discendere spontaneamente dal solo uso della longevità delle varie creature e della interazione fra di esse.

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Se poi vi è piaciuto l’articolo, vi invito a leggere anche i seguenti:

-D&D e Viaggi nel tempo
-Il censimento dei maghi
-Draghi realistici – Darwin Fantasy
-ManaDinamica – Interazioni Fondamentali (pt. 1)
-Elfi e Nani Scientifici – Darwin Fantasy

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